Κωνικές τομές, παραμετρικές εξισώσεις και πολικές συντεταγμένες

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

Ο κύκλος \(x^{2}+y^{2}-4x=0\) έχει:

Συμπληρώνουμε το τετράγωνο: \((x-2)^{2}+y^{2}=4\).

Ερώτηση 2

Ο κύκλος με κέντρο \((1,-2)\) και ακτίνα 3 έχει εξίσωση:

Ο κύκλος με κέντρο \((x_{0},y_{0})\) και ακτίνα \(\rho\) έχει εξίσωση \((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\rho^{2}\).

Ερώτηση 3

Η εστία της παραβολής \(x^{2}=8y\) είναι το σημείο:

Η \(x^{2}=2py\) έχει εστία \(\left(0,\dfrac{p}{2}\right)\). Εδώ \(2p=8\), άρα \(p=4\).

Ερώτηση 4

Οι εστίες της έλλειψης \(\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\) είναι τα σημεία:

\(a=5\), \(b=3\) και \(\gamma=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4\). Τα \((\pm5,0)\) είναι κορυφές, όχι εστίες.

Ερώτηση 5

Η εξίσωση \(\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{9}=1\) παριστάνει:

Οι δύο τετραγωνικοί όροι έχουν αντίθετα πρόσημα. Με ίδια πρόσημα θα είχαμε έλλειψη.

Ερώτηση 6

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής \(\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{9}=1\) είναι οι ευθείες:

Οι ασύμπτωτες είναι οι \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\), με \(a=2\) και \(b=3\).

Ερώτηση 7

Οι παραμετρικές εξισώσεις \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), \(0\le t<2\pi\), περιγράφουν:

Για κάθε \(t\) ισχύει \(x^{2}+y^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1\).

Ερώτηση 8

Το σημείο με πολικές συντεταγμένες \((r,\theta)=\left(2,\dfrac{\pi}{2}\right)\) έχει καρτεσιανές συντεταγμένες:

\(x=r\cos\theta=0\) και \(y=r\sin\theta=2\).

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.