Όρια και συνέχεια: βασικές έννοιες

Παραγοντοποιούμε: \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\rightarrow4\). Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο \(2\), αλλά το όριο υπάρχει.

Στο άπειρο μετρούν οι μεγιστοβάθμιοι όροι: \(\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}=3\).

Είναι ένα από τα βασικά τριγωνομετρικά όρια, με το \(x\) σε ακτίνια.

Για μικρά θετικά \(x\) το \(\dfrac1x\) γίνεται οσοδήποτε μεγάλο. Από τα αριστερά το όριο είναι \(-\infty\).

Για \(x>0\) είναι \(f(x)=1\) και για \(x<0\) είναι \(f(x)=-1\). Τα πλευρικά όρια διαφέρουν.

Χρειάζονται και οι δύο υποθέσεις. Χωρίς συνέχεια η συνάρτηση μπορεί να «πηδήξει» πάνω από το μηδέν.

Η πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής, άρα το όριο είναι η τιμή της στο \(3\): \(3^{2}+1=10\).

Καθώς \(x\to-\infty\) η \(e^{x}\) πλησιάζει το \(0\) από θετικές τιμές. Ο άξονας \(x\) είναι οριζόντια ασύμπτωτη.

\(\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\rightarrow3\cdot1=3\).

Ο παρονομαστής έχει μεγαλύτερο βαθμό από τον αριθμητή, άρα το πηλίκο τείνει στο \(0\).

Το όριο από τα αριστερά είναι \(1+1=2\). Για συνέχεια πρέπει να ισούται με την τιμή \(f(1)=a\).

Είναι το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ρίζα δεν υπάρχει πάντα. Η συνθήκη \(f(a)f(b)<0\) αρκεί για να υπάρχει ρίζα στο \((a,b)\) (Θεώρημα Bolzano), δεν είναι όμως αναγκαία.