Κουίζ 8.1

Ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα

Μία επιλογή ανά ερώτηση. Η εξήγηση εμφανίζεται αμέσως.

Ερώτηση 1

\(\displaystyle\int 2x\,dx=\)

Αναζητούμε συνάρτηση με παράγωγο \(2x\): η \(x^{2}\). Μην ξεχνάτε τη σταθερά.

Ερώτηση 2

\(\displaystyle\int_{0}^{1}3x^{2}\,dx=\)

\(\left[x^{3}\right]_{0}^{1}=1-0=1\).

Ερώτηση 3

\(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\cos t\,dt=\)

Από το Θεμελιώδες Θεώρημα, η παράγωγος του ολοκληρώματος ως προς το άνω άκρο είναι η ολοκληρωτέα συνάρτηση στο \(x\).

Ερώτηση 4

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=\)

Η \(x^{3}\) είναι περιττή και το διάστημα συμμετρικό: τα εμβαδά πάνω και κάτω από τον άξονα αλληλοαναιρούνται.

Ερώτηση 5

\(\displaystyle\int\frac1x\,dx=\)

Ο κανόνας \(\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\) δεν ισχύει για \(n=-1\). Εκεί η παράγουσα είναι \(\ln|x|\).

Ερώτηση 6

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\)

\(\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=1+1=2\).

Ερώτηση 7

Αν \(\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\,dx=7\), τότε \(\displaystyle\int_{5}^{2}f(x)\,dx=\)

Όταν αντιστρέφουμε τα όρια ολοκλήρωσης, το ολοκλήρωμα αλλάζει πρόσημο.

Ερώτηση 8

\(\displaystyle\int_{1}^{e}\frac1x\,dx=\)

\(\left[\ln x\right]_{1}^{e}=\ln e-\ln1=1-0=1\).

Ερώτηση 9

\(\displaystyle\int\left(3x^{2}+2x\right)dx=\)

Ολοκληρώνουμε κάθε όρο χωριστά: \(\int3x^{2}dx=x^{3}\) και \(\int2x\,dx=x^{2}\). Το \(6x+2\) είναι η παράγωγος.

Μηδενίζει όλες τις απαντήσεις αυτού του κουίζ. Οι απαντήσεις δεν αποθηκεύονται πουθενά.